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Mathematik 1 Beweisaufgaben
(2020)
Die Beweisaufgabensammlung richtet sich an angehende Ingenieure, die die im Rahmen einer Mathematik 1-Vorlesung eingeführten Formeln nicht nur anwenden, sondern selbst herleiten wollen. Zur Unterstützung dienen neben ausführlichen Lösungen die in einem Extrakapitel angegebenen Lösungshinweise: halbfertige Skizzen, Teilergebnisse, Nennung der Beweismethode oder eine Auflistung der relevanten Gleichungen. Bei umfangreicheren Herleitungen ist eine Aufteilung in mehrere Aufgaben vorgenommen worden. Für die 2. Auflage wurden 45 weitere Beweisaufgaben aufgenommen, viele aus dem Bereich der Geometrie, z.B. der Höhensatz des Euklid, Abstandsformeln oder ein Vergleich der verschiedenen Darstellungsarten einer Ebene. Neben der pq-Formel wird nun auch die abc-Formel hergeleitet, die Potenzgesetze werden durch Wurzelgesetze komplettiert, und es wird bewiesen, dass die Kubikwurzel sogar im Sattelpunkt streng monoton steigt. Es wird diskutiert, warum man 0 hoch 0 zu eins definieren sollte, die verschiedenen Darstellungsformen einer Parabel ineinander überführt und gezeigt, woher das Newton-Verfahren kommt.
Die Beweise werden ergänzt durch zwei Formelsammlungen, mit denen sich eine typische Mathematik 1-Klausur lösen lässt. Die Gleichungen und Regeln der Lern-Formelsammlung sind von so elementarer Bedeutung, dass sie jeder Ingenieurstudent auswendig können sollte. Formeln und Lösungsstrategien, die aufgrund ihres etwas anspruchsvolleren Inhalts nicht jeder im Kopf haben muss, finden sich in der Klausur-Formelsammlung.
For the standard ISO 16842 cruciform test specimen, stresses obtained from the gauge area are far below the ultimate tensile strength due to high stress concentrations at the slit ends which lead to premature failure. Objective: To introduce a new cruciform specimen design which has been optimized with respect to the determination of yield surfaces. Methods: The proposed design differs from the ISO standard by an additional thinning of the gauge area and wider slits in the arms to avoid stress singularities. Compared to other cruciform test piece designs found in the literature, the stress distribution is still homogeneous and there is no need to reduce the size of the gauge area, thanks to the specimen’s well-balanced proportions. Results: Biaxial tensile tests have been conducted with aluminium 5754 alloy samples of different thicknesses. For the standard cruciform test piece, the maximum strain achieved at the gauge area is only 25% of the fracture strain. The optimized cruciform test piece can attain about 66% of the fracture strain before breaking. Conclusions: The optimized specimen design enables the measurement of yield surfaces at higher stress levels. In case of other materials such as elastomers, the slit length has be to adjusted accordingly.